克劳修斯-迪昂不等式

克劳修斯－迪昂不等式（英語：Clausius–Duhem inequality）是连续介质力学中热力学第二定律的一种表达形式^[1][2]，用以描述不可逆的热力学过程。该不等式常用于判断材料的本构关系是否违背热力学原理。^[3]其名称源于德国物理学家鲁道夫·克劳修斯与法国物理学家皮埃尔·迪昂。

以比熵表示的克劳修斯－迪昂不等式为

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}}$

以比内能表示的克劳修斯－迪昂不等式则为

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

以上表达式中，${\displaystyle {\dot {\eta }}}$与${\displaystyle {\dot {e}}}$分别为比熵与比内能的时间导数，${\displaystyle \rho }$为密度，${\displaystyle \mathbf {q} }$为热通量，${\displaystyle T}$为温度，${\displaystyle s}$为单位质量的能量来源，${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$则为柯西应力张量。

参考文献

1. Truesdell, Clifford, The Mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics, Journal of Rational Mechanics and Analysis, 1952, 1: 125–300 .
2. Truesdell, Clifford & Toupin, Richard, The Classical Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik III, Berlin: Springer, 1960 .
3. Frémond, M., The Clausius–Duhem Inequality, an Interesting and Productive Inequality, Nonsmooth Mechanics and Analysis, Advances in mechanics and mathematics 12, New York: Springer: 107–118, 2006, ISBN 0-387-29196-2, doi:10.1007/0-387-29195-4_10 .