Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211
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四月 12, 2023
傅里叶正弦, 余弦变换, 在数学中, 傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式, 它们最初被约瑟夫, 傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长, 如信号处理和概率统计, 目录, 定义, 傅里叶逆变换, 与複指数的关系, 相关条目, 参考定义, 编辑方程, 的傅里叶正弦变换, 有时也被表示为f, displaystyle, displaystyle, mathcal, displaystyle, infty, infty, omega, 或2, displaystyle, sqrt, frac, infty, . 在数学中 傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式 它们最初被约瑟夫 傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长 如信号处理和概率统计 目录 1 定义 2 傅里叶逆变换 3 与複指数的关系 4 相关条目 5 参考定义 编辑方程 f t 的傅里叶正弦变换 有时也被表示为f s displaystyle hat f s or F s f displaystyle mathcal F s f 有 2 f t sin 2 p w t d t displaystyle 2 int infty infty f t sin 2 pi omega t dt 或2 p 0 f t sin w t d t displaystyle sqrt frac 2 pi int 0 infty f t sin omega t dt 如果 t 代表时间 那么 w 就是单位时间周期内的频率 但抽象来说 它们可以是互相关联的任何一对变量 这个变换必须是频率的奇函数 即对所有的 w f s w f s w displaystyle hat f s omega hat f s omega 傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义 为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子 因子 2 出现因为对正弦函数有 L2 norm of 1 2 displaystyle tfrac 1 sqrt 2 方程 f t 的傅里叶余弦变换 有时也被表示为f c displaystyle hat f c 或F c f displaystyle mathcal F c f 有 2 f t cos 2 p w t d t displaystyle 2 int infty infty f t cos 2 pi omega t dt 这个变换必须是频率的偶函数 即对所有的 w f c w f c w displaystyle hat f c omega hat f c omega 一些著者 1 仅定义了 t 的偶函数的余弦变换 在这种情形下正弦变换为 0 因为余弦也是偶函数 所以可以使用更简单的公式 4 0 f t cos 2 p w t d t displaystyle 4 int 0 infty f t cos 2 pi omega t dt 相似地 如果 f 是奇函数 那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为 4 0 f t sin 2 p w t d t displaystyle 4 int 0 infty f t sin 2 pi omega t dt 傅里叶逆变换 编辑按照通常的假设 原始方程 f 可以从变换形式中复原 即 f 和它的两种变换都是绝对可积的 更多不同的假设 参见傅里叶逆变换 逆公式是 2 f t 0 f c cos 2 p w t d w 0 f s sin 2 p w t d w displaystyle f t int 0 infty hat f c cos 2 pi omega t d omega int 0 infty hat f s sin 2 pi omega t d omega 它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数 如果省略变换中的因子 2 那么逆公式通常写为正和负频率的的积分 用余弦的变换公式 可以再表示为 p 2 f x 0 f x 0 0 f t cos w t x d t d w displaystyle tfrac pi 2 left f x 0 f x 0 right int 0 infty int infty infty f t cos omega t x dtd omega 这里 f x 0 表示 f 当 x 从上方趋近于零的一边极限 且 f x 0 表示 f 当 x 从下方趋近于零一边的极限 如果原始方程 f 是偶函数 那么正弦变换就为零 如果 f 是奇函数 那么余弦变换就为零 在任何一种可能中 逆变换方程都可以化简 与複指数的关系 编辑如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是 f n f t e 2 p i n t d t f t cos 2 p n t i sin 2 p n t d t Euler s Formula f t cos 2 p n t d t i f t sin 2 p n t d t 1 2 f c n i 2 f s n displaystyle begin aligned hat f nu amp int infty infty f t e 2 pi i nu t dt amp int infty infty f t cos 2 pi nu t i sin 2 pi nu t dt amp amp text Euler s Formula amp left int infty infty f t cos 2 pi nu t dt right i left int infty infty f t sin 2 pi nu t dt right amp tfrac 1 2 hat f c nu tfrac i 2 hat f s nu end aligned 相关条目 编辑离散余弦变换 离散正弦变换参考 编辑Whittaker Edmund and James Watson A Course in Modern Analysis Fourth Edition Cambridge Univ Press 1927 pp 189 211 Mary L Boas 在 Mathematical Methods in the Physical Sciences 第二版 John Wiley amp Sons Inc 1983 ISBN 0 471 04409 1 Poincare Henri Theorie analytique de la propagation de chaleur Paris G Carre 1895 pp 108ff 2014 05 27 原始内容存档于2017 08 07 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 傅里叶正弦 余弦变换 amp oldid 63298282, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,