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伯恩施坦問題

四月 10, 2024

微分幾何中，伯恩施坦問題如下：如果在Rn−1上的函數圖象是Rn中的極小曲面，那麼函數是否必然是線性函數？這個結果在維數n不大於8時成立，但n不小於9時不成立。這條問題是以俄羅斯數學家謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦命名，他在1914年解出了n = 3的情形。

問題 编辑

設f是一個有n - 1個實變數的函數。f的圖象是Rn中的曲面。這曲面的極小曲面條件，就是f滿足極小曲面方程

 

伯恩施坦問題是指，如果一個在整個Rn−1上有定義的函數f符合這條方程，f是否必然是一次多項式。

歷史 编辑

Bernstein (1915–1917)證明了伯恩施坦定理：一個在R2上的實函數的圖象如果是R3中極小曲面，這曲面必定是平面。

Fleming (1962)給出了伯恩施坦定理的新證明，用了R3中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理。

De Giorgi (1965)證明了如果Rn−1中沒有非平面的面積最小化錐，那麼伯恩施坦定理的類似結果在Rn成立，特別是這結果可以推出定理在R4中成立。

Almgren (1966)證明了R4中沒有非平面的面積最小化錐，將伯恩施坦定理推廣到R5。

Simons (1968)證明了R7中沒有非平面的面積最小化錐, 將伯恩施坦定理推廣到R8。他也給出了R8中的局部穩定錐的一些例子，並問這些例子是否整體面積最小化。

Bombieri，De Giorgi & Giusti (1969)證明了詹姆斯·西蒙斯的錐確實是整體最小化的，並證明了Rn對於n≥9時，有圖象是極小曲面但不是超平面。連同西蒙斯的結果，這顯示了伯恩施坦定理的類似結果，在維數上到8時是對的，在更高維數是錯的。

參考 编辑

  • Almgren, F. J., Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem, Annals of Mathematics. Second Series, 1966, 84: 277–292, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970520, MR 0200816 
  • Bernstein, S.N., Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, 1915–1917, 15: 38–45  German translation in Bernstein, Serge, Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 26: 551–558, ISSN 0025-5874, doi:10.1007/BF01475472 （德语） 
  • Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E., Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 243–268, ISSN 0020-9910, MR 0250205, doi:10.1007/BF01404309 
  • De Giorgi, Ennio, Una estensione del teorema di Bernstein, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1965, 19: 79–85 [2015-05-17], MR 0178385, （原始内容于2015-06-16） 
  • Fleming, Wendell H., On the oriented Plateau problem, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 1962, 11: 69–90, ISSN 0009-725X, MR 0157263, doi:10.1007/BF02849427 
  • Sabitov, I.Kh., Bernstein theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Simons, James, Minimal varieties in riemannian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1968, 88: 62–105, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295 
  • Straume, E., Bernstein problem in differential geometry, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部連結 编辑

  • Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）

四月 10, 2024
伯恩施坦問題, 此條目已列出參考文獻, 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明, 2015年5月18日, 请加上合适的文內引註来改善这篇条目, 微分幾何中, 如下, 如果在rn, 1上的函數圖象是rn中的極小曲面, 那麼函數是否必然是線性函數, 這個結果在維數n不大於8時成立, 但n不小於9時不成立, 這條問題是以俄羅斯數學家謝爾蓋, 納塔諾維奇, 伯恩施坦命名, 他在1914年解出了n, 3的情形, 目录, 問題, 歷史, 參考, 外部連結問題, 编辑設f是一個有n, 1個實變數的函數, f的圖象是rn中的曲面, 這. 此條目已列出參考文獻 但因為沒有文內引註而使來源仍然不明 2015年5月18日 请加上合适的文內引註来改善这篇条目 微分幾何中 伯恩施坦問題如下 如果在Rn 1上的函數圖象是Rn中的極小曲面 那麼函數是否必然是線性函數 這個結果在維數n不大於8時成立 但n不小於9時不成立 這條問題是以俄羅斯數學家謝爾蓋 納塔諾維奇 伯恩施坦命名 他在1914年解出了n 3的情形 目录 1 問題 2 歷史 3 參考 4 外部連結問題 编辑設f是一個有n 1個實變數的函數 f的圖象是Rn中的曲面 這曲面的極小曲面條件 就是f滿足極小曲面方程 i 1n 1 xi f xi1 j 1n 1 f xj 2 0 displaystyle sum i 1 n 1 frac partial partial x i frac frac partial f partial x i sqrt 1 sum j 1 n 1 frac partial f partial x j 2 0 nbsp 伯恩施坦問題是指 如果一個在整個Rn 1上有定義的函數f符合這條方程 f是否必然是一次多項式 歷史 编辑Bernstein 1915 1917 證明了伯恩施坦定理 一個在R2上的實函數的圖象如果是R3中極小曲面 這曲面必定是平面 Fleming 1962 給出了伯恩施坦定理的新證明 用了R3中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理 De Giorgi 1965 證明了如果Rn 1中沒有非平面的面積最小化錐 那麼伯恩施坦定理的類似結果在Rn成立 特別是這結果可以推出定理在R4中成立 Almgren 1966 證明了R4中沒有非平面的面積最小化錐 將伯恩施坦定理推廣到R5 Simons 1968 證明了R7中沒有非平面的面積最小化錐 將伯恩施坦定理推廣到R8 他也給出了R8中的局部穩定錐的一些例子 並問這些例子是否整體面積最小化 Bombieri De Giorgi amp Giusti 1969 證明了詹姆斯 西蒙斯的錐確實是整體最小化的 並證明了Rn對於n 9時 有圖象是極小曲面但不是超平面 連同西蒙斯的結果 這顯示了伯恩施坦定理的類似結果 在維數上到8時是對的 在更高維數是錯的 參考 编辑Almgren F J Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein s theorem Annals of Mathematics Second Series 1966 84 277 292 ISSN 0003 486X JSTOR 1970520 MR 0200816 Bernstein S N Sur une theoreme de geometrie et ses applications aux equations derivees partielles du type elliptique Comm Soc Math Kharkov 1915 1917 15 38 45 German translation in Bernstein Serge Uber ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus Mathematische Zeitschrift Springer Berlin Heidelberg 1927 26 551 558 ISSN 0025 5874 doi 10 1007 BF01475472 德语 Bombieri Enrico De Giorgi Ennio Giusti E Minimal cones and the Bernstein problem Inventiones Mathematicae 1969 7 243 268 ISSN 0020 9910 MR 0250205 doi 10 1007 BF01404309 De Giorgi Ennio Una estensione del teorema di Bernstein Ann Scuola Norm Sup Pisa 3 1965 19 79 85 2015 05 17 MR 0178385 原始内容存档于2015 06 16 Fleming Wendell H On the oriented Plateau problem Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo Serie II 1962 11 69 90 ISSN 0009 725X MR 0157263 doi 10 1007 BF02849427 Sabitov I Kh Bernstein theorem Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 Simons James Minimal varieties in riemannian manifolds Annals of Mathematics Second Series 1968 88 62 105 ISSN 0003 486X JSTOR 1970556 MR 0233295 Straume E Bernstein problem in differential geometry Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 外部連結 编辑Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 伯恩施坦問題 amp oldid 63266107, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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