亥姆霍茲線圈

亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。

一座裝配了亥姆霍茲線圈的物理儀器。

亥姆霍茲線圈示意圖。

簡介

亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為${\displaystyle R}$ 的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為${\displaystyle h/2}$ 與${\displaystyle -h/2}$ 。每一個導體線圈載有同向電流${\displaystyle I}$ 。

設定${\displaystyle h=R}$ 可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使${\displaystyle \partial ^{2}B/\partial z^{2}=0}$ ，也意味著領先的非零微分項目是${\displaystyle \partial ^{4}B/\partial z^{4}}$ ，稍後會對這論點做更詳細解釋。^[1]但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。

在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。^[2]

數學描述

 

在亥姆霍茲線圈的二等分面的磁場線。注意到在兩個線圈之間的磁場近似均勻（在這電腦繪圖裏，線圈的中心軸是縱向的）。

 

沿著線圈中心軸（z-軸）的磁場。與兩個線圈同距離的中心位置的z-坐標為0。

 

等值線圖顯示出在亥姆霍茲線圈的磁場的數值大小。在中央的章魚區域內，磁場數值與中心位置的磁場數值${\displaystyle B_{0}}$ 相差不超過1%。五條等值線的磁場數值分別為${\displaystyle 0.5B_{0}}$ 、${\displaystyle 0.8B_{0}}$ 、${\displaystyle 0.9B_{0}}$ 、${\displaystyle 0.95B_{0}}$ 、${\displaystyle 0.99B_{0}}$ 。

關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為${\displaystyle z}$ 的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離${\displaystyle h}$ ，可以使得O點成為拐點，則可以保證${\displaystyle z^{2}}$ 級項目為零，因此領先不均勻項目是${\displaystyle z^{4}}$ 級項目。

在中心位置O點，磁場為

${\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數。

推導

採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為^[3]（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來）

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$ ；

其中，${\displaystyle B}$ 是磁場數值大小，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常數，${\displaystyle I}$ 是電流，${\displaystyle R}$ 是線圈半徑，${\displaystyle z}$ 是檢驗位置的z-坐標。

對於${\displaystyle n}$ 匝線圈，磁場為

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}}$ 。

現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為${\displaystyle R/2}$ ，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為

${\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}}$ 。

進階推導

更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加：^[4]

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}}$ 。

在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成${\displaystyle z}$ 的冪級數：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$ ；

其中，${\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}}$ 。

現在設定${\displaystyle h=R}$ ，則${\displaystyle z^{2}}$ 項目為零，在原點附近的磁場更加均勻：

${\displaystyle \mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}}$ 。

磁場不均勻率與${\displaystyle z}$ 的關係式為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}}$ 。

在${\displaystyle z=\pm R/2}$ ，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為

${\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%}$ 。

參閱

• 麦克斯韦线圈（Maxwell coils）
• 亥姆霍茲共鳴（英语：Helmholtz resonance）
• 螺線管
• 磁振造影

參考文獻

1. 亥姆霍茲線圈內部磁場分析. [2011-07-25]. （原始内容于2012-03-24）. 
2. 地磁場磁力儀：亥姆霍茲線圈" Archive.is的存檔，存档日期2007-06-28 by Richard Wotiz 2004
3. 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：Field on Axis of Current Loop. [2011-07-25]. （原始内容于2018-10-17）. 
4. Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 226–227, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：亥姆霍茲線圈

• Helmholtz-Coil Fields （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project.
• 加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。