中線, 或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段, 三角形的三条中线总是相交于同一点, 这个点称为三角形的重心, 圖中, displaystyle, triangle, abc和中线ad, 目录, 性质1, 证明, 性质2, 證明, 參見性质1, 编辑任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分, 都把三角形分成面积相等的两个部分, 除此之外, 任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分, 证明, 编辑, 考虑三角形abc, 设d为a, displaystyle, overline, n. 中線或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段 三角形的三条中线总是相交于同一点 这个点称为三角形的重心 圖中 displaystyle triangle ABC和中线AD 目录 1 性质1 1 1 证明 2 性质2 2 1 證明 3 參見性质1 编辑任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分 中線都把三角形分成面积相等的两个部分 除此之外 任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分 证明 编辑 考虑三角形ABC 设D为A B displaystyle overline AB nbsp 的中点 E为B C displaystyle overline BC nbsp 的中点 F为A C displaystyle overline AC nbsp 的中点 O为重心 根据定义 A D D B A F F C B E E C displaystyle AD DB AF FC BE EC nbsp 因此 A D O B D O A F O C F O B E O C E O A B E A C E displaystyle ADO BDO AFO CFO BEO CEO ABE ACE nbsp 其中 A B C displaystyle ABC nbsp 表示三角形ABC的面积 我们有 A B O A B E B E O displaystyle ABO ABE BEO nbsp A C O A C E C E O displaystyle ACO ACE CEO nbsp 因此 A B O A C O displaystyle ABO ACO nbsp 且 A D O D B O A D O 1 2 A B O displaystyle ADO DBO ADO frac 1 2 ABO nbsp 由于 A F O F C O A F O 1 2 A C O 1 2 A B O A D O displaystyle AFO FCO AFO frac 1 2 ACO frac 1 2 ABO ADO nbsp 所以 A F O F C O D B O A D O displaystyle AFO FCO DBO ADO nbsp 同理 也可以证明 A F O F C O D B O A D O B E O C E O displaystyle AFO FCO DBO ADO BEO CEO nbsp 性质2 编辑在 displaystyle triangle nbsp ABC中 連接角A的中線記為m a displaystyle m a nbsp 連接角B的中線記為m b displaystyle m b nbsp 連接角C的中線記為m c displaystyle m c nbsp 它們長度的公式為 m a 1 2 2 b 2 c 2 a 2 displaystyle m a frac 1 2 sqrt 2 b 2 c 2 a 2 nbsp m b 1 2 2 c 2 a 2 b 2 displaystyle m b frac 1 2 sqrt 2 c 2 a 2 b 2 nbsp m c 1 2 2 a 2 b 2 c 2 displaystyle m c frac 1 2 sqrt 2 a 2 b 2 c 2 nbsp 證明 编辑 在 displaystyle triangle nbsp ABD中 A D m a displaystyle AD m a nbsp m a 2 A B 2 B D 2 2 A B B D cos A B D displaystyle m a 2 AB 2 BD 2 2 AB BD cos angle ABD nbsp 餘弦定理 以a b c表示cos A B D displaystyle cos angle ABD nbsp i e cos A B D c 2 a 2 b 2 2 c a displaystyle i e cos angle ABD frac c 2 a 2 b 2 2ca nbsp amp B D a 2 displaystyle BD frac a 2 nbsp 把以上兩等式代入原式 i e m a 2 c 2 a 2 2 2 c a 2 c 2 a 2 b 2 2 c a displaystyle i e m a 2 c 2 frac a 2 2 2 c frac a 2 frac c 2 a 2 b 2 2ca nbsp c 2 a 2 4 c 2 a 2 b 2 2 displaystyle c 2 frac a 2 4 frac c 2 a 2 b 2 2 nbsp 4 c 2 a 2 2 c 2 2 a 2 2 b 2 4 displaystyle frac 4c 2 a 2 2c 2 2a 2 2b 2 4 nbsp 2 b 2 2 c 2 a 2 4 displaystyle frac 2b 2 2c 2 a 2 4 nbsp m a 1 2 2 b 2 c 2 a 2 displaystyle m a frac 1 2 sqrt 2 b 2 c 2 a 2 nbsp 同理 可證得其他二式 Q E D 參見 编辑中線定理 角平分線長公式 取自 https zh wikipedia org w index php title 中線 amp oldid 72896798, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,