一般线性模型

一般线性模型（general linear model, multivariate regression model）是一个统计学上常见的线性模型（英语：Linear model）。这个模型在计量经济学的应用中十分重要。不要与多元线性回归，广义线性模型或一般线性方法相混淆。

其公式一般写为：

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}$

其中Y是一个包含反应变量的矩阵。X是一个包含独立自变量的设计矩阵。B是一个包含多个估计参数的矩阵。U 是一个包含误差和剩余项的矩阵。通常假设误差在测量之间是不相关的，并遵循多元正态分布。如果误差不遵循多元正态分布，则可以使用广义线性模型来放宽关于Y和U的假设。

一般线性模型包含许多不同的统计模型：ANOVA，ANCOVA，MANOVA（英语：Multivariate analysis of variance），MANCOVA（英语：Multivariate analysis of covariance），普通线性回归，t检验和F检验。一般线性模型是对多于一个因变量的情况的多元线性回归的推广。如果Y，B和U是列向量，则上面的矩阵方程将表示多元线性回归。

使用一般线性模型的假设检验可以通过两种方式进行：多变量或多个独立的单变量（英语：Univariate）检验。在多变量测试中，Y的列一起测试，而在单变量测试中，Y列独立地测试，即作为具有相同设计矩阵的多个单变量测试。

多元线性回归

多元线性回归是简单线性回归到多个自变量的概括，以及一般线性模型的特例，仅限于一个因变量。多元线性回归的基本模型是

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\beta _{3}X_{i3}+...+\beta _{p}X_{ip}+\varepsilon _{i}}$ 

对于每个观察值，i = 1，...，n。

在上面的公式中，我们考虑 n 个观察一个因变量和 p 个独立变量。因此，${\displaystyle Y_{i}}$ 是因变量的第 i 个观察值，${\displaystyle X_{ij}}$ 是对第 j 个自变量的第 i 个观察值，j = 1,2，...，p。值${\displaystyle \beta _{j}}$ 表示参数进行估计，并且${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ 是第 i 个独立同分布正常的错误。

在更一般的多元线性回归中，对于 m > 1 个因变量中的每一个，存在上述形式的一个等式，其共享相同的解释变量集并因此彼此同时估计：

${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+...+\beta _{pj}X_{ip}+\varepsilon _{ij}}$ 

观察值 i = 1，...，n，因变量 j = 1，...， m。

应用

一般线性模型的应用出现在科学实验的多脑扫描分析中，其中Y包含来自脑扫描仪的数据，X包含实验设计变量和混淆值。 它通常以单变量方式进行测试（在此设置中通常称为质量单变量），通常称为统计参数映射^[1]。

註釋

1. Statistical parametric mapping. Wikipedia. 2018-08-11 （英语）. 

參考文獻

• Christensen, Ronald. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models Third. New York: Springer. 2002. ISBN 0-387-95361-2. 
• Wichura, Michael J. The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. 2006: xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455. 
• Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A. (编). Applied Regression Analysis. Springer Texts in Statistics. 1998. ISBN 0-387-98454-2. doi:10.1007/b98890.