一致估计量

在统计学中，一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量，亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近，使得估计量依概率收敛于${\displaystyle \theta _{0}}$。

{${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$, ...}是参数${\displaystyle \theta _{0}}$的一组估计量，待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于${\displaystyle \theta _{0}}$的真值；而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于${\displaystyle \theta _{0}}$。

这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。

定义

设${\displaystyle g(\theta )}$ 为定义在参数空间${\displaystyle \Theta }$ 上的一维数值函数，用${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=T(X^{(n)})}$ 去估计它。这里${\displaystyle X^{(n)}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})}$ 为样本，${\displaystyle n}$ 为样本量。如果当${\displaystyle n\to \infty }$ 时，估计量${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$ 在某个意义${\displaystyle C}$ 之下收敛于被估计的${\displaystyle g(\theta )}$ ，则称${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$ 是${\displaystyle g(\theta )}$ 的一个意义${\displaystyle C}$ 之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况：

• ${\displaystyle C}$ 表示依概率收敛，即是${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {}{\to }}g(\theta )}$ ，这时所定义的相合性称弱相合。

• ${\displaystyle C}$ 表示以概率1收敛，即是${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {a.s.}{\to }}g(\theta )}$ ，这时所定义的相合性称强相合。

• ${\displaystyle C}$ 表示以${\displaystyle r}$ 阶矩收敛(${\displaystyle r>0}$ )，即是${\displaystyle \mathrm {E} |{\widehat {T}}_{n}-g(\theta )|^{r}\to 0}$ ，这时所定义的相合性称${\displaystyle r}$ 阶矩相合，简称矩相合。

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果${\displaystyle g(\theta )=(g_{1}(\theta ),g_{2}(\theta ),\cdots ,g_{k}(\theta ))}$ 是多维的，${\displaystyle \forall i\in \{1,2,\cdots ,k\}}$ ，${\displaystyle {\widehat {T}}_{ni}}$ 为${\displaystyle g_{i}(\theta )}$ 在某意义下的相合估计，则称估计量${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=({\widehat {T}}_{n1},{\widehat {T}}_{n2},\cdots ,{\widehat {T}}_{nk})}$ 在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑${\displaystyle g(\theta )}$ 为1维的情况。

性质

泛函不变性

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$ ，${\displaystyle g(\theta )}$ 为定义在开集${\displaystyle {\widetilde {\Theta }}\subset \Theta }$ 上的实值连续函数。若${\displaystyle {\widehat {T}}_{n}}$ 是${\displaystyle \theta }$ 的（强/弱）相合估计，则${\displaystyle g({\widehat {T}}_{n})}$ 是${\displaystyle g(\theta )}$ 的（强/弱）相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。

存在性的充分条件

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$ ，独立同分布样本${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ 其总体分布函数是k维分布函数${\displaystyle F_{\theta }(x)}$ 。若${\displaystyle \forall \theta \in \Theta ,\varepsilon >0}$  有

${\displaystyle \inf\{\sup _{x\in \mathbb {R} ^{k}}|F_{\theta }-F_{\varphi }|:\varphi \in \Theta ,\|\theta -\varphi \|>\varepsilon \}>0}$ 

则${\displaystyle \theta }$ 的强相合估计存在。

存在性的一个必要条件

设参数空间${\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}}$ ，独立同分布样本${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ 其总体分布函数是k维分布函数${\displaystyle F_{\theta }(x)}$ 。若${\displaystyle \theta }$ 的相合估计存在，且${\displaystyle \theta \neq \varphi \in \Theta }$ 时，${\displaystyle F_{\theta }\neq F_{\varphi }}$ 。

存在性的充要条件

至今没有得到回答。

参考文献

• 盛, 骤; 谢, 式千; 潘, 承毅. 概率论与数理统计（第四版）. 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023896-9. 
• Lehmann, E. L.; Casella, G. Theory of Point Estimation 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98502-6. 
• 陈, 希孺. 高等数理统计学. 中国科学技术大学出版社. 2009. ISBN 978-7-312-02281-4. 
• Nikulin, M. S., Consistent estimator, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4